“Gödel, Escher, Bach”, 줄여서 “GEB”는 Douglas Hofstadter가 쓴 과학 문헌입니다. 개정판을 바탕으로 이 책은 1027쪽에 달하는 방대한 내용을 담고 있으며, “자기 참조”라는 주제를 통해 음악가 “요한 제바스티안 바흐”, 수학자 “쿠르트 괴델”, 그래픽 아티스트 “모리츠 코르넬리스” 에셔”가 이야기한다. 세 사람에게서 발견된 “이상한 고리”. 많은 사람들이 이 책이 수학, 음악, 예술을 하나로 묶는 사슬을 만든 것처럼 말하지만, 저자에 따르면 이 책은 매우 다른 목적을 가지고 있습니다. 이것은 책 서문에 있는 다음과 같은 말로 결론을 내릴 수 있다.
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“요컨대, GEB는 어떻게 살아 있는 존재가 무생물에서 나올 수 있는지를 말하려는 매우 개인적인 시도입니다.”
GEB ’20주년 에디션 서문’ P4
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좀 더 기계적으로 설명하자면 무의미한 기호 체계가 어떻게 ‘의미’를 만들어내는지를 보여주는 책이라고 생각하면 된다.
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책의 구성은 상당히 복잡하다. 바흐의 “The Musical Offering”의 구성에 따른 챕터의 구분, “Dialogue”에 등장하는 수많은 고급 은유와 말장난, 그리고 책 중간에 배치된 Escher의 판화는 예술성 감탄을 불러일으키는 건물 . 또한 근본적인 질문을 던지고 점차 독자의 지식 수준을 높여가는 방식으로 내용이 전개되었다는 점은 책을 다 읽었을 때 큰 영적 교화감을 주었다.
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GEB는 크게 1부 GEB와 2부 EGB로 나누어져 있는데, 1부에서는 바흐의 음악, 에셔의 그림, 괴델의 정리에서 발생하는 “이상한 고리” 또는 “자제” 현상을 찾아보고, 그것이 느끼는 바를 정확히 설명한다. 와 같은 ( 느낌이 무엇인지 말해보세요. 이 부분은 언뜻 이해하기가 매우 어렵습니다. 개념적인 부분이 없으면 이런 현상이 일어날 수 있다는 생각으로 책을 계속 진행해야 합니다. 아래의 pq 시스템과 같은 수학적 형식 시스템 그리고 에셔의 그림을 통해 보이는 그 보완 체계 또는 “전경과 배경”은 “재귀”의 성질을 설명한다. 괴델의 불완전성 정리를 증명하는 도구.
2부에서는 1부에서 논의한 내용을 바탕으로 인공지능의 출현과 그 안에 상징인 ‘자아’의 발현에 대한 호프스태터 자신의 생각을 전개한다.
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가장 흥미롭고 미스터리한 부분은 다시 14장, “TNT 및 관련 시스템의 형식적으로 결정 불가능한 정리”였습니다. 여기에서 쿠르트 괴델의 불완전성 정리의 핵심과 증명 체계의 본질적인 불완전성이 드러난다. 내용을 보면 몇 가지 개념이 필요합니다.
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1. 증명 쌍: 어떤 식으로든 관련된 자연수 쌍.
2. Arithmoquining: “자기 참조 문장”을 생성하는 산술(술어 시스템 내에서) quinization.
3. Quinnization 관련 문장을 Quinnify
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이제 1,2,3을 통해 다음과 같은 TNT 방정식이 유도된다.
식의 괴델 수 u를 정의합니다.
산술은 이 표현을 완성합니다. (자유 변수 a” 자리에 u를 나타내는 숫자 삽입)
이것을 G라고 하자. 이것은 다음과 같다.
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“다음 숫자 a와 a‘존재하지 않습니다. (1) 와‘TNT 안전한 쌍을 형성하십시오. 동시에 (2)‘u의 산술 quinization입니다.
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그러나 산술 퀴닌화의 정의에 따르면 G의 괴델 수는 u의 산술 퀴닌화입니다. 등의 산술 퀸화‘분명히 존재한다
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이것은 다시:
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“u의 산술적 퀸화와 TNT 안전 쌍을 형성하는 숫자 a는 없습니다.”
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이것은 다시:
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“괴델의 수가 u의 산술 퀴닌인 표현은 TNT 정리가 아닙니다.”
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하지만 ‘괴델의 수는 u의 산술 키네핀이라는 표현‘는 G 그 자체입니다.
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“G는 TNT 정리가 아닙니다.”
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이 부분이 시사하는 바는 정말 저수준에서 무의미한 기호로 구성된 형식체계(TNT)에서 “정수론 정리”가 구현되고, 이것이 더 높은 수준의 “자기 참조 메타-TNT 정리”라고 도출되었다는 것이다. 괴델이 설명에서 술어를 만들었다는 뜻입니다!
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TNT의 정리에 의해 도출된 정리 G는 참이지만 동시에 그것이 가리키는 것은 거짓이다. 이것은 결정할 수 없는 문제이며 시스템의 “구멍”을 나타냅니다. 그러나 형식 시스템에서는 이러한 모순을 재정의하고 확장된 시스템을 사용하여 간격을 채울 수 있다고 생각할 수 있습니다. 괴델은 이와 관련하여 “본질적인 불완전성”을 언급하는데, 이 책의 “시스템으로부터의 탈출” 섹션에 잘 설명되어 있습니다. 요약하면 시스템이 자기 참조 문장을 가질 만큼 충분히 강력하다면 불완전성이 내포되어 있습니다.
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이것은 책의 극히 일부에 불과합니다. 괴델의 불완전성 정리는 호프스타터가 헨킨스 문제, 틀 이론, 봉가드 문제 등을 통해 설명하고자 하는 “자기 지시적 표현”과 호프스태터의 “계층 이론”을 효과적으로 보여주기 위한 수단일 뿐이다. 요소들이 얽혀 있는 ‘혼합 질서’의 개념이 핵심이다. 뇌, 지능 및 인공 지능과 같은 더 높은 수준을 나타내는 데 다시 사용됩니다.
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Douglas Hofstadter는 마음을 뇌의 여러 층으로 설명하려고 했습니다. 그 노력은 과거의 축적된 유산을 활용했지만 결국 후세에 남겨질 수밖에 없었다. 그러나 그는 자신의 관점이 사회, 종교 및 수많은 다른 분야에서 발견되는 이상한 고리를 푸는 데 도움이 될 것이라고 믿었습니다. 그리고 우리 시대는 혼돈의 시대에서 복잡한 시스템의 시대로 넘어갔습니다.
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이 책은 나에게 생각의 폭을 넓힐 수 있는 기회를 주었다. 더 높은 수준의 표현은 낮은 수준에서 구성되며 거기에서 발생하는 마법의 도약은 얼마나 많은 수준이 상호 작용하는지를 결정합니다. 그런 사실 하나만으로도 미래에 대한 관심과 배움의 의욕을 높일 수 있는 자기계발의 도움을 받을 수 있었던 것 같아요. 적어도 한 번은 반드시 읽어야 합니다.
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그것은 생각이 실제로 앞뒤로 흐르는 더 높은 수준, 얽힌 계층이 될 것입니다.
GEB ‘뇌와 마음: 신경 수준의 얽힘은 기호 얽힘을 지원합니다’, P954